Resolver
[ ddot y – 4 dot y + 3y = e ^ {- t} label {eq1} ]
con condiciones iniciales (y_0 = 1 ) y ( dot y_0 = -1 ).
Probablemente ya conozca algún método para resolver esta ecuación, así que continúe y hágalo. Luego, cuando haya terminado, mire la solución por transformadas de Laplace.
Laplace transformada:
[s ^ 2 bar {y} – s + 1 – 4 (s bar {y} – 1) + 3 bar {y} = 1 / (s + 1) . ]
(¡Dios mío! ¡No fue tan rápido!)
Un poco de álgebra:
[ bar {y} = frac {1} {(s-3) (s-1) (s + 1)} + frac {s-5} {(s -3) (s-1)}. ]
Fracciones parciales:
[ bar {y} = frac {1} {8} left ( frac {1} {s-3} – frac {2} {s-1} + frac {1} {s + 1} right) + frac {2} {s-1} – frac {1} {s-3}, ]
o
[ bar {y} = frac {1} {8} left ( frac {1} {s + 1} right) + frac {7} {4} left ( frac {1} {s-1} right) – frac {7} {8} left ( frac {1} {s-3} right). ]
Transformaciones inversas:
[y = frac {1} {8} e ^ {- t} + frac {7} {4} e ^ t – frac {7} {8} e ^ {3t} ]
y puede verificar que esto es correcto mediante la sustitución en la ecuación diferencial original (Ecuación ref {eq1}).
Entonces: Hemos encontrado una nueva forma de resolver ecuaciones diferenciales. Si (pero solo si) tenemos mucha práctica en la manipulación de transformaciones de Laplace, y hemos utilizado las diversas manipulaciones para preparar una tabla de transformaciones ligeramente más grande de la tabla básica dada anteriormente, y podemos pasar de (t ) a (s ) y de (s ) a (t ) con igual facilidad, podemos creer que nuestro nuevo método puede ser rápido y fácil.
Pero, ¿qué tiene esto que ver con los circuitos eléctricos? Sigue leyendo.