[ textbf {L} left ( frac {d ^ ny} {dt ^ n} right) = s ^ n bar {y} – s ^ {n-1} y_0 – s ^ { n-2} left ( frac {dy} {dt} right) _0 – s ^ {n-3} left ( frac {d ^ 2y} {dt ^ 2} right) _0 – … quad … – s left ( frac {d ^ {n-2} y} {dt ^ {n-2}} right) _0 – left ( frac {d ^ {n-1} y } {dt ^ {n-1}} right) _0. ]
Esto parece formidable, y estarás tentado a omitirlo, pero no lo hagas, porque es ¡esencial! Sin embargo, para hacerlo más aceptable, señalaré que rara vez, si es que alguna vez, se necesitan derivados más altos que el segundo, por lo que volveré a escribir esto para el primer y segundo derivados, y se verán mucho menos atemorizantes.
[ textbf {L} dot y = s bar {y} – y_0 ]
y [ 19459033]
[ textbf {L} ddot y = s ^ 2 bar {y} – sy_0 – dot y_0. ] [19459029 ]
Aquí, el subíndice cero significa “evaluado en t = 0″.
La ecuación 14.7.2 se prueba fácilmente mediante la integración por partes:
[ bar {y} = textbf {L} y = int_0 ^ infty ye ^ {- st} dt = – frac {1} {s} int_0 ^ infty yde ^ {- st} = – frac {1} {s} left [ye ^ {- st} right] _0 ^ infty + frac {1} {s} int_ {t = 0} ^ infty e ^ {- st} dy = frac {1} {s } y_0 + frac {1} {s} int dot y dt = frac {1} {s} y_0 + frac {1} {s} textbf {L} dot y. ]
[ por lo tanto qquad textbf {L} dot y = s bar {y} – y_0. ]
De esto, [ textbf {L} ddot y = bar { dot {y}} – dot y _0 = sL dot y – dot y_0 = s (s bar {y} – y_0) – dot y_0 = s ^ 2 bar {y} – sy_0 – dot y_0. ]
Aplica esto una y otra vez, y llegas a la ecuación 14.7.1 [19459033 ]