1.2: Estimaciones de escala y orden de magnitud

Galileo sobre el comportamiento de la naturaleza en escalas grandes y pequeñas

Una de las obras científicas más famosas del mundo son los Diálogos de Galileo sobre las dos nuevas ciencias. Galileo era un escritor entretenido que quería explicar las cosas claramente a los laicos, y animó su trabajo al presentarlo en forma de diálogo entre tres personas. Salviati es realmente el alter ego de Galileo. Simplicio es el personaje estúpido, y una de las razones por las que Galileo se metió en problemas con la Iglesia fue que había rumores de que Simplicio representaba al Papa. Sagredo es el estudiante serio e inteligente, con quien el lector debe identificarse. (Los siguientes extractos son de la traducción de 1914 de Crew y de Salvio.)

Salviati contradice a Sagredo:

El punto que Galileo está haciendo aquí es que las cosas pequeñas son más resistentes en proporción a su tamaño. Sin embargo, hay muchas objeciones que podrían plantearse. Después de todo, ¿qué significa realmente que algo sea “fuerte”, que sea “fuerte en proporción a su tamaño” o que sea fuerte “fuera de proporción a su tamaño”? Galileo no ha dado definiciones operativas de cosas como “fuerza”, es decir, definiciones que explican cómo medirlas numéricamente.

Además, un gato tiene una forma diferente a la de un caballo: una fotografía ampliada de un gato no se confundiría con un caballo, incluso si los expertos en fotografía del National Inquirer lo hicieran parecer una persona cabalgaba sobre su espalda. Un saltamontes ni siquiera es un mamífero, y tiene un exoesqueleto en lugar de un esqueleto interno. Todo el argumento sería mucho más convincente si pudiéramos aislar las variables, un término científico que significa cambiar solo una cosa a la vez, aislarlo de las otras variables que podrían tener un efecto. Si el tamaño es la variable cuyo efecto nos interesa ver, entonces realmente no queremos comparar cosas que son diferentes en tamaño pero también diferentes en otras formas.

d / El bote pequeño sostiene s muy bien.

e / Un barco más grande construido con las mismas proporciones que el pequeño colapsará por su propio peso.

f / Un barco de este tamaño debe tener maderas más gruesas en comparación con su tamaño.

Después de este comienzo entretenido pero no científicamente riguroso, Galileo comienza a hacer algo que vale la pena según los estándares modernos. Simplifica todo al considerar la resistencia de una tabla de madera. Las variables involucradas se pueden reducir al tipo de madera, el ancho, el grosor y la longitud. También da una definición operativa de lo que significa que la tabla tenga una cierta resistencia “en proporción a su tamaño”, al introducir el concepto de una tabla que es la más larga que no se rompería por su propio peso si se apoyara en una sola. final. Si aumentara su longitud en la menor cantidad, sin aumentar su ancho o grosor, se rompería. Él dice que si un tablón tiene la misma forma que otro pero de un tamaño diferente, apareciendo como una fotografía reducida o ampliada del otro, entonces los tablones serían fuertes “en proporción a sus tamaños” si ambos apenas pudieran soportar su propio peso.

g / 1. Esta tabla es lo más larga posible sin colapsarse por su propio peso. Si fuera una centésima de pulgada más, colapsaría. 2. Este tablón está hecho del mismo tipo de madera. Es el doble de grueso, el doble de largo y el doble de ancho. Se derrumbará bajo su propio peso.

h / Galileo discute tablones de madera, pero el concepto puede ser más fácil de imaginar con arcilla. Las tres barras de arcilla en la figura tenían originalmente la misma forma. El mediano era dos veces más alto, dos veces más largo y dos veces más ancho que el pequeño, y de manera similar, el grande era dos veces más grande que el mediano en todas sus dimensiones lineales. El grande tiene cuatro veces las dimensiones lineales del pequeño, 16 veces el área de la sección transversal cuando se corta perpendicular a la página y 64 veces el volumen. Eso significa que el grande tiene 64 veces más peso que soportar, pero solo 16 veces la fuerza en comparación con el más pequeño.

Además, Galileo está haciendo algo que estaría mal visto en la ciencia moderna: está mezclando experimentos cuyos resultados ha observado (construyendo barcos de diferentes tamaños), con experimentos que posiblemente no podría haber hecho (dejar caer una hormiga desde la altura de la luna). Ahora relata cómo ha realizado experimentos reales con tales tablas, y descubrió que, de acuerdo con esta definición operativa, no son fuertes en proporción a sus tamaños. El más grande se rompe. Se asegura de decirle al lector lo importante que es el resultado, a través de la asombrosa respuesta de Sagredo:

En otras palabras, este experimento específico, usando cosas como tablas de madera que no tienen interés científico intrínseco, tiene implicaciones muy amplias porque señala un principio general, que la naturaleza actúa de manera diferente en diferentes escalas.

Para finalizar la discusión, Galileo da una explicación. Él dice que la resistencia de una tabla (definida como, por ejemplo, el peso de la roca más pesada que podría poner en el extremo sin romperla) es proporcional a su área de sección transversal, es decir, el área de superficie de la madera fresca que estaría expuesto si lo cortara en el medio. Su peso, sin embargo, es proporcional a su volumen. ²

¿Cómo se comparan el volumen y el área de la sección transversal de la tabla más larga con los de la tabla más corta? Ya hemos visto, mientras discutimos las conversiones de las unidades de área y volumen, que estas cantidades no actúan de la manera que la mayoría de la gente espera ingenuamente. Se podría pensar que el volumen y el área de la tabla más larga se duplicarían en comparación con la tabla más corta, por lo que aumentarían en proporción entre sí, y la tabla más larga sería igualmente capaz de soportar su peso. Te equivocarías, pero Galileo sabe que este es un error común, por lo que Salviati aborda el punto específicamente:

El mismo razonamiento se aplica a las tablas. Aunque no son cubos, el grande se puede cortar en ocho pequeños, cada uno con la mitad de la longitud, la mitad del grosor y la mitad del ancho. El tablón pequeño, por lo tanto, tiene más área de superficie en proporción a su peso y, por lo tanto, puede soportar su propio peso mientras se rompe el grande.

Escala de área y volumen para objetos de forma irregular

Probablemente no va a creer la afirmación de Galileo de que esto tiene profundas implicaciones para toda la naturaleza a menos que puede convencerse de que lo mismo es cierto para cualquier forma. Cada dibujo que has visto hasta ahora ha sido de cuadrados, rectángulos y sólidos rectangulares. Claramente, el razonamiento sobre cortar cosas en pedazos más pequeños no probaría nada sobre, por ejemplo, un huevo, que no se puede cortar en ocho objetos más pequeños en forma de huevo con la mitad de longitud.

¿Es siempre cierto que algo de la mitad del tamaño tiene un cuarto del área de superficie y un octavo del volumen, incluso si tiene una forma irregular? Tome el ejemplo del violín de un niño. Los violines están hechos para niños pequeños de menor tamaño para acomodar sus cuerpos pequeños. La figura i muestra un violín de tamaño completo, junto con dos violines hechos con la mitad y 3/4 de la longitud normal. ³ Estudiemos la superficie de los paneles frontales de los tres violines.

i / El área de una forma es proporcional al cuadrado de sus dimensiones lineales, incluso si la forma es irregular.

Considere el cuadrado en el interior del panel del violín de tamaño completo. En el violín de tamaño 3/4, su altura y ancho son menores en un factor de 3/4, por lo que el área del cuadrado más pequeño correspondiente se convierte en (3/4 times3 / 4 = 9/16 ) de El área original, no 3/4 del área original. Del mismo modo, el cuadrado correspondiente en el violín más pequeño tiene la mitad de la altura y la mitad del ancho del original, por lo que su área es 1/4 del área original, no la mitad.

El mismo razonamiento funciona para partes del panel cerca del borde, como la parte que solo llena parcialmente el otro cuadrado. Todo el cuadrado se reduce en escala igual que un cuadrado en el interior, y en cada violín la misma fracción (aproximadamente 70%) del cuadrado está llena, por lo que la contribución de esta parte al área total se reduce de la misma manera.

Dado que cualquier región cuadrada pequeña o cualquier región pequeña que cubra parte de un cuadrado se reduce como un objeto cuadrado, toda el área de superficie de un objeto de forma irregular cambia de la misma manera que el área de superficie de un cuadrado: escala hacia abajo en 3/4 reduce el área en un factor de 9/16, y así sucesivamente.

En general, podemos ver que cada vez que hay dos objetos con la misma forma, pero con diferentes dimensiones lineales (es decir, uno parece una foto reducida de la otra), la proporción de sus áreas es igual a la proporción de los cuadrados de sus dimensiones lineales:

[ begin {ecation *} frac {A_1} {A_2} = left ( frac {L_1} {L_2} right) ^ 2. end {ecuación *} ]

Tenga en cuenta que no importa dónde elijamos medir el tamaño lineal, (L ), de un objeto. En el caso de los violines, por ejemplo, podría haberse medido verticalmente, horizontalmente, en diagonal o incluso desde la parte inferior del agujero f izquierdo hasta la mitad del agujero f derecho. Solo tenemos que medirlo de manera consistente en cada violín. Dado que se supone que todas las partes se contraen o expanden de la misma manera, la relación (L_1 / L_2 ) es independiente de la elección de la medición.

También es importante darse cuenta de que es completamente innecesario tener una fórmula para el área de un violín. Solo es posible derivar fórmulas simples para las áreas de ciertas formas como círculos, rectángulos, triángulos, etc., pero eso no es impedimento para el tipo de razonamiento que estamos usando.

A veces es inconveniente escribir todas las ecuaciones en términos de razones, especialmente cuando se comparan más de dos objetos. Una forma más compacta de reescribir la ecuación anterior es

[ begin {ecation *} A propto L ^ 2. end {ecuación *} ]

El símbolo ” ( propto )” significa “es proporcional a”. Los científicos e ingenieros a menudo hablan de tales relaciones verbalmente usando las frases “escalas como” o “va como”, por ejemplo, “el área va como la longitud al cuadrado”.

Todos los razonamientos anteriores funcionan igual de bien en el caso del volumen. El volumen va como la longitud en cubos:

[ begin {ecation *} V propto L ^ 3. end {ecuación *} ]

Si diferentes objetos están hechos del mismo material con la misma densidad, ( rho = m / V ), entonces sus masas, (m = rho V ), son proporcionales a (L ^ 3 ). (El símbolo de densidad es ( rho ), la letra griega minúscula “rho”).

Un punto importante es que todo el razonamiento anterior sobre la escala solo se aplica a objetos que son iguales forma. Por ejemplo, un trozo de papel es más grande que un lápiz, pero tiene una relación superficie-volumen mucho mayor.

j / El panecillo sale del horno demasiado caliente para comer. Romperlo en cuatro pedazos aumenta su área de superficie mientras mantiene el volumen total igual. Se enfría más rápido debido a la mayor relación superficie-volumen. En general, las cosas más pequeñas tienen mayores relaciones de superficie a volumen, pero en este ejemplo no hay una manera fácil de calcular el efecto exactamente, porque las piezas pequeñas no tienen la misma forma que el panecillo original.

[194590007] Razonamiento sobre proporciones y proporcionalidades es uno de las tres habilidades matemáticas esenciales, resumidas en las páginas 905-907, que necesita para tener éxito en este curso.

◊ Problema resuelto: un telescopio recoge la luz – problema 32

◊ Problema resuelto: distancia desde un terremoto – problema 33

0.2.3 Estimaciones de orden de magnitud

Es la marca de una mente instruida para estar satisfecho con el grado de precisión que la naturaleza del sujeto permite y no buscar una exactitud donde solo es posible una aproximación de la verdad. – Aristóteles

Aproximar la forma de un tomate como un cubo es un ejemplo de otra estrategia general para hacer estimaciones de orden de magnitud. Una situación similar ocurriría si intentara estimar cuántos ( text {m} ^ 2 ) de cuero podrían producirse a partir de una manada de diez mil reses. No tiene sentido tratar de tener en cuenta la forma de los cuerpos de las vacas. Un plan de ataque razonable podría ser considerar una vaca esférica. Probablemente, una vaca tiene aproximadamente la misma superficie que una esfera con un radio de aproximadamente 1 m, que sería (4 pi (1 text {m}) ^ 2 ). Using the well-known facts that pi equals three, and four times three equals about ten, we can guess that a cow has a surface area of about (10 text{m}^2), so the herd as a whole might yield (10^5 text{m}^2) of leather.

The following list summarizes the strategies for getting a good order-of-magnitude estimate.

1. Don’t even attempt more than one significant figure of precision.
2. Don’t guess area, volume, or mass directly. Guess linear dimensions and get area, volume, or mass from them.
3. When dealing with areas or volumes of objects with complex shapes, idealize them as if they were some simpler shape, a cube or a sphere, for example.
4. Check your final answer to see if it is reasonable. If you estimate that a herd of ten thousand cattle would yield (0.01 text{m}^2) of leather, then you have probably made a mistake with conversion factors somewhere.