Hay una forma segura de calcular cualquiera de los valores en un circuito de CC reactivo a lo largo del tiempo.
Cálculo de valores en un circuito de CC reactivo
El primer paso es identificar los valores iniciales y finales para cualquier cantidad en que el capacitor o inductor se oponga al cambio; es decir, cualquier cantidad que el componente reactivo intente mantener constante. Para condensadores , esta cantidad es voltaje ; para inductores , esta cantidad es actual . Cuando el interruptor en un circuito está cerrado (o abierto), el componente reactivo intentará mantener esa cantidad al mismo nivel que antes de la transición del interruptor, de modo que ese valor se utilizará para el valor de “inicio”. El valor final de esta cantidad es lo que sea esa cantidad después de un tiempo infinito. Esto se puede determinar analizando un circuito capacitivo como si el capacitor fuera un circuito abierto, y un circuito inductivo como si el inductor fuera un cortocircuito porque así es como se comportan estos componentes cuando han alcanzado la “carga completa”. después de un tiempo infinito
El siguiente paso es calcular la constante de tiempo del circuito: la cantidad de tiempo que tardan los valores de voltaje o corriente en cambiar aproximadamente un 63 por ciento de sus valores iniciales a sus valores finales en una situación transitoria. . En un circuito RC serie , la constante de tiempo es igual a la resistencia total en ohmios multiplicada por la capacitancia total en faradios. Para un circuito L / R de la serie , es la inductancia total en henrys dividida por la resistencia total en ohmios. En cualquier caso, la constante de tiempo se expresa en unidades de segundos y se simboliza con la letra griega “tau” (τ):
El aumento y la caída de los valores del circuito, como el voltaje y la corriente en respuesta a un transitorio, son, como se mencionó anteriormente, asintóticos . Siendo así, los valores comienzan a cambiar rápidamente poco después de lo transitorio y se establecen con el tiempo. Si se traza en un gráfico, el enfoque de los valores finales de voltaje y corriente forman curvas exponenciales.
Como se dijo anteriormente, una constante de tiempo es la cantidad de tiempo que le toma a cualquiera de estos valores cambiar alrededor del 63 por ciento de sus valores iniciales a sus valores finales (últimos). Por cada constante de tiempo, estos valores se mueven (aproximadamente) un 63 por ciento más cerca de su objetivo final. La fórmula matemática para determinar el porcentaje preciso es bastante simple:
La letra e representa la constante de Euler, que es aproximadamente 2.7182818. Se deriva de las técnicas de cálculo, después de analizar matemáticamente el enfoque asintótico de los valores del circuito. Después del tiempo de una constante de tiempo, el porcentaje de cambio del valor inicial al valor final es:
Después de dos constantes de tiempo, el porcentaje de cambio del valor inicial al valor final es:
Después de diez veces el tiempo constante, el porcentaje es:
Mientras más tiempo pase desde la aplicación transitoria de voltaje de la batería, mayor será el valor del denominador en la fracción, lo que da un valor menor para la fracción completa, lo que da un gran total (1 menos el fracción) acercándose a 1, o 100 por ciento.
Fórmula de constante de tiempo universal
Podemos hacer una fórmula más universal para determinar los valores de voltaje y corriente en los circuitos transitorios, multiplicando esta cantidad por la diferencia entre los valores finales y de arranque del circuito:
Analicemos el aumento de voltaje en el circuito resistor-condensador en serie que se muestra al comienzo del capítulo.
Tenga en cuenta que estamos eligiendo analizar el voltaje porque esa es la cantidad que los condensadores tienden a mantener constante. Aunque la fórmula funciona bastante bien para la corriente, los valores iniciales y finales de la corriente se derivan realmente del voltaje del condensador, por lo que el voltaje de cálculo es un método más directo. La resistencia es de 10 kΩ y la capacitancia es de 100 µF (microfaradios). Dado que la constante de tiempo (τ) para un circuito RC es el producto de resistencia y capacitancia, obtenemos un valor de 1 segundo:
Si el condensador comienza en un estado totalmente descargado (0 voltios), entonces podemos usar ese valor de voltaje para un valor de “arranque”. El valor final, por supuesto, será el voltaje de la batería (15 voltios). Nuestra fórmula universal para el voltaje del condensador en este circuito se ve así:
Entonces, después de 7.25 segundos de aplicar un voltaje a través del interruptor cerrado, el voltaje de nuestro condensador habrá aumentado en:
Desde que comenzamos con un voltaje de condensador de 0 voltios, este aumento de 14.989 voltios significa que tenemos 14.989 voltios después de 7.25 segundos.
La misma fórmula también funcionará para determinar la corriente en ese circuito. Como sabemos que un condensador descargado actúa inicialmente como un cortocircuito, la corriente de arranque será la cantidad máxima posible: 15 voltios (de la batería) dividido por 10 kΩ (la única oposición a la corriente en el circuito al principio):
También sabemos que la corriente final será cero, ya que el condensador eventualmente se comportará como un circuito abierto, lo que significa que eventualmente no fluirán electrones en el circuito. Ahora que conocemos los valores de corriente inicial y final, podemos usar nuestra fórmula universal para determinar la corriente después de 7.25 segundos de cierre del interruptor en el mismo circuito RC:
¡Tenga en cuenta que la cifra obtenida para el cambio es negativa, no positiva! Esto nos dice que la corriente disminuyó en lugar de aumentar con el paso del tiempo. Desde que comenzamos con una corriente de 1.5 mA, esta disminución (-1.4989 mA) significa que tenemos 0.001065 mA (1.065 µA) después de 7.25 segundos.
También podríamos haber determinado la corriente del circuito en el tiempo = 7,25 segundos restando el voltaje del condensador (14,989 voltios) del voltaje de la batería (15 voltios) para obtener la caída de voltaje a través de la resistencia de 10 kΩ, luego calculando la corriente a través de la resistencia (y todo el circuito en serie) con Ley de Ohm (I = E / R). De cualquier manera, deberíamos obtener la misma respuesta:
Uso de la fórmula de constante de tiempo universal para analizar circuitos inductivos
La fórmula de constante de tiempo universal también funciona bien para analizar circuitos inductivos. Vamos a aplicarlo a nuestro circuito L / R de ejemplo al comienzo del capítulo:
Con una inductancia de 1 henry y una resistencia en serie de 1 Ω, nuestra constante de tiempo es igual a 1 segundo:
Debido a que este es un circuito inductivo, y sabemos que los inductores se oponen al cambio en la corriente, configuraremos nuestra fórmula de constante de tiempo para los valores iniciales y finales de la corriente. Si comenzamos con el interruptor en la posición abierta, la corriente será igual a cero, por lo que cero es nuestro valor de corriente inicial. Después de que el interruptor se haya dejado cerrado durante mucho tiempo, la corriente se asentará en su valor final, igual a la tensión de la fuente dividida por la resistencia total del circuito (I = E / R), o 15 amperios en el caso de este circuito .
Si quisiéramos determinar el valor de la corriente a 3,5 segundos, aplicaríamos la fórmula de constante de tiempo universal como tal:
Dado el hecho de que nuestra corriente de arranque era cero, esto nos deja en una corriente de circuito de 14.547 amperios a 3.5 segundos de tiempo.
La determinación del voltaje en un circuito inductivo se logra mejor calculando primero la corriente del circuito y luego calculando las caídas de voltaje en las resistencias para encontrar lo que queda por caer en el inductor. Con solo una resistencia en nuestro circuito de ejemplo (que tiene un valor de 1 Ω), esto es bastante fácil:
Restado de nuestro voltaje de batería de 15 voltios, esto deja 0,453 voltios a través del inductor en el tiempo = 3,5 segundos.
REVISIÓN:
- Fórmula de constante de tiempo universal:
- Para analizar un circuito RC o L / R, siga estos pasos:
- (1): Determine la constante de tiempo para el circuito (RC o L / R).
- (2): Identifique la cantidad a calcular (cualquiera que sea la cantidad cuyo cambio sea directamente opuesto por el componente reactivo. Para los condensadores esto es voltaje; para los inductores esto es corriente).
- (3): Determine los valores inicial y final para esa cantidad.
- (4): Inserte todos estos valores (Final, Inicio, tiempo, constante de tiempo) en la fórmula de constante de tiempo universal y resuelva el cambio en cantidad.
- (5): si el valor inicial era cero, entonces el valor real en el momento especificado es igual al cambio calculado dado por la fórmula universal. De lo contrario, agregue el cambio al valor inicial para averiguar dónde se encuentra.
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