A modo de ejemplo, usemos la expresión ( textbf {dA} = frac { mu I} {4 pi r} textbf {ds} ), para calcular el potencial del vector magnético en el proximidad de un conductor largo, recto y portador de corriente (“cable” para abreviar). Supondremos que el cable se encuentra a lo largo del eje (z ), con la corriente que fluye en la dirección positiva (z ). Trabajaremos en coordenadas cilíndricas, y los símbolos, ( hat { rho}, , hat { phi}, , hat { textbf {z}} ) denotar la unidad de vectores ortogonales. Después de calcular ( textbf {A} ), trataremos de calcular su curvatura para obtener el campo magnético ( textbf {B} ). Ya sabemos, por supuesto, que para un cable directo el campo es ( textbf {B} = frac { mu I} {2 pi rho} ) ( hat { phi} ) , por lo que esto servirá como un control de nuestro álgebra.
Considere un elemento ( hat { textbf {z}} , dz ) en el cable a una altura (z ) sobre el plano (xy ). (La longitud de este elemento es (dz ); el vector unitario ( hat { textbf {z}} ) solo indica su dirección.) Considere también un punto P en el plano (xy ) – una distancia ( rho ) del cable. La distancia de P desde el elemento (dz text {es} sqrt { rho ^ 2 + z ^ 2} ). Por lo tanto, la contribución al potencial del vector magnético es
[ textbf {dA} = hat { textbf {z}} frac { mu I} {4 pi} cdot frac {dz} {( rho ^ 2 + z ^ 2) ^ {1/2}}. Label {9.3.1} ]
El potencial total del vector magnético es por lo tanto
[ textbf {A} = hat { textbf {z}} frac { mu I} {2 pi} int_0 ^ infty frac {dz} {( rho ^ 2 + z ^ 2) ^ {1/2}}. Label {9.3.2} ]
Esta integral es infinita, lo que al principio puede parecer desconcertante. Por lo tanto, primero calculemos el potencial del vector magnético para una sección finita de longitud (2l ) del cable. Para esta sección, tenemos
[ textbf {A} = hat { textbf {z}} frac { mu I} {2 pi} cdot int_0 ^ l frac {dz} {( rho ^ 2 + z ^ 2) ^ {1/2}}. label {9.3.3} ]
Para integrar esto, deje que (z = rho tan θ ), de donde ( textbf {A} = hat { textbf {z}} frac { mu I} {2 pi} cdot int_0 ^ alpha sec theta , d theta ) donde (l = rho tan alpha ). De esto obtenemos ( textbf {A} = hat { textbf {z}} frac { mu I} {2 pi} cdot ln ( sec alpha + tan alpha) ) de donde
[ label {9.3.4} textbf {A} = hat { textbf {z}} frac { mu I} {2 pi} cdot ln left ( frac { sqrt {l ^ 2 + rho ^ 2} + l} { rho} right). ]
Para (l >> rho ) esto se convierte en
[ label {9.3.5} textbf {A} = hat { textbf {z}} frac { mu I} {2 pi} cdot ln left ( frac {2l } { rho} right) = hat { textbf {z}} frac { mu I} {2 pi} ( ln 2l – ln rho). ]
Por lo tanto, vemos que el potencial del vector magnético en la vecindad de un cable recto es un campo vectorial paralelo al cable. Si el cable es de longitud infinita, el potencial del vector magnético es infinito. Para una longitud finita, el potencial viene dado exactamente por la ecuación ref {9.3.4}, y, muy cerca de un cable largo, el potencial está dado aproximadamente por la ecuación ref {9.3.5}.
Ahora usemos la ecuación ref {9.3.5} junto con ( textbf {B} = textbf {curl A} ), para ver si podemos encontrar el campo magnético ( textbf {B} ). Tendremos que usar la expresión para ( textbf {curl A} ) en coordenadas cilíndricas, que es
[ label {9.3.6} textbf {curl A} = left ( frac {1} { rho} frac {∂A_z} {∂ phi} – frac {∂A_ phi } {∂z} right) hat { boldsymbol { rho}} + left ( frac {∂A_ rho} {∂z} – frac {∂A_z} {∂ rho} right) sombrero { boldsymbol { phi}} + frac {1} { rho} left (A_ phi + rho frac {∂A_ phi} {∂ rho} – frac {∂A_ rho} {∂ phi} right) hat { textbf {z}}. ]
En nuestro caso, ( textbf {A} ) solo tiene un componente (z ), por lo que esto se simplifica mucho:
[ label {9.3.7} textbf {curl A} = frac {1} { rho} frac {∂A_z} {∂ phi} hat { boldsymbol { rho}} – frac {∂A_z} {∂ rho} hat { boldsymbol { phi}}. ]
Y como el componente (z ) – de ( textbf {A} ) depende solo de ( rho ), el cálculo se vuelve trivial y obtenemos, como se esperaba
[ label {9.3.8} textbf {B} = frac { mu I} {2 pi rho} hat { boldsymbol { phi}}. ]
Este es un resultado aproximado para muy cerca de un cable largo, pero es exacto para cualquier distancia para un cable infinito. Esto puede parecerle una larga palabrería para derivar la Ecuación ref {9.3.8}, pero el objetivo del ejercicio no fue derivar la Ecuación ref {9.3.8} (que es trivial del teorema de Ampère), sino derivar el expresión para ( textbf {A} ). Calcular ( textbf {B} ) posteriormente solo fue para asegurarnos de que nuestro álgebra era correcto.