Estamos familiarizados con la idea de que un campo eléctrico ( textbf {E} ) puede expresarse como menos el gradiente de una función potencial (V ). Eso es
[ textbf {E} = – textbf {grad} V = – nabla V. label {9.1.1} ]
Tenga en cuenta que (V ) no es único, porque se le puede agregar una constante arbitraria. Podemos definir un (V ) único asignando un valor particular de (V ) a algún punto (como cero en el infinito).
¿Podemos expresar el campo magnético ( textbf {B} ) de manera similar al gradiente de alguna función potencial (ψ ), de modo que, por ejemplo, ( textbf {B} = – textbf {grad} , ψ = – nabla ψ )? Antes de responder esto, notamos que hay algunas diferencias entre ( textbf {E} ) y ( textbf {B} ). A diferencia de ( textbf {E} ), el campo magnético ( textbf {B} ) es sin fuente ; no hay fuentes ni sumideros; Las líneas del campo magnético son bucles cerrados. La fuerza sobre una carga (q ) en un campo eléctrico es (q textbf {E} ), y depende solo de dónde está la carga en el campo eléctrico, es decir, de su posición. Por lo tanto, la fuerza es conservadora , y entendemos por cualquier estudio de mecánica clásica que solo las fuerzas conservativas pueden expresarse como la derivada de una función potencial. La fuerza sobre una carga (q ) en un campo magnético es (q textbf {v} times textbf {B} ). Esta fuerza (la fuerza de Lorentz) no depende solo de la posición de la partícula, sino también de su velocidad (velocidad y dirección). Por lo tanto, la fuerza no es conservadora. Esto sugiere que quizás no podamos expresar el campo magnético simplemente como el gradiente de una función de potencial escalar, y esto es correcto; no podemos.