La integración numérica de las ecuaciones 8.5.22-24 es sencilla (por la regla de Simpson, por ejemplo), excepto cerca del perineme ( (x = 1 )) y el aponeme ( (x = x_2 )), donde los integrantes se convierten infinito. Sin embargo, cerca del perineme podemos sustituir (x = 1 + xi ) y cerca del aponeme podemos sustituir (x = x_2 (1 – xi) ), y podemos expandir los integrandos como series de potencia en ( xi ) e integrar término por término. Recojo aquí los siguientes resultados para los intervalos (x = 1 ) a (x = 1 + epsilon ) y (x = x_2 – epsilon ) a (x = x_2 ), donde ( epsilon ) debe elegirse para que sea lo suficientemente pequeño como para que ( epsilon ^ 4 ) sea más pequeño que la precisión requerida.
[I_1 = int ^ {1+ epsilon} _1 [v_0 ^ 2 (1-1 / x ^ 2) + 2w_0 ln x – ( ln x) ^ 2] ^ {- 1/2} dx = M (1+ frac {1} {3} A_1 epsilon + frac {1} {5} B_1 epsilon ^ 2 + frac {1} {7} C_1 epsilon ^ 3 + …) tag {8A.1} ]
[I_2 = int ^ {1+ epsilon} _1 [v_0 ^ 2 (1-1 / x ^ 2) + 2w_0 ln x – ( ln x) ^ 2] ^ {- 1/2} ln x dx = M ( frac {1} {3} epsilon + frac {1} {5} D_1 epsilon ^ 2 + frac {1} {7} E_1 epsilon ^ 3 + …) tag {8A.2} ]
[I_3 = int ^ {1+ epsilon} _1 [v_0 ^ 2 (1-1 / x ^ 2) + 2w_0 ln x – ( ln x) ^ 2] ^ {- 1/2} x ^ {- 2} dx = M (1+ frac {1} {3} F_1 epsilon + frac {1} {5} G_1 epsilon ^ 2 + frac {1} {7} H_1 epsilon ^ 3 + …) tag {8A.3} ]
[I_4 = int ^ {x_2} _ {x_2- epsilon} [v_0 ^ 2 (1-1 / x ^ 2) + 2w_0 ln x – ( ln x) ^ 2] ^ {- 1/2 } dx = N [1+ frac {1} {3} A_2 epsilon / x_2 + frac {1} {5} B_2 ( epsilon / x_2) ^ 2 + frac {1} {7} C_2 ( epsilon / x_2) ^ 3 + …) tag {8A.4} ]
[I_5 = int ^ {x_2} _ {x_2- epsilon} [v_0 ^ 2 (1-1 / x ^ 2) + 2w_0 ln x – ( ln x) ^ 2] ^ {- 1/2} ln x dx = I_4 ln x_2 – N [ frac {1} {3} epsilon / x_2 + frac {1} {5} D_2 ( epsilon / x_2) ^ 2 + frac {1} { 7} E_2 ( epsilon / x_2) ^ 3 + …] tag {8A.5} ]
[I_6 = int ^ {x_2} _ {x_2- epsilon} [v_0 ^ 2 (1-1 / x ^ 2) + 2w_0 ln x – ( ln x) ^ 2] ^ {- 1/2} x ^ {- 2} dx = N [1+ frac {1} { 3} F_2 epsilon / x_2 + frac {1} {5} G_2 ( epsilon / x_2) ^ 2 + frac {1} {7} H_2 ( epsilon / x_2) ^ 3 + …] / x_2 ^ 2 tag {8A.6} ]
Las constantes se definen de la siguiente manera.
[M = left ( frac {2 epsilon} {v_0 ^ 2 + w_0} right) ^ {1/2} tag {8A.7} ]
[19459001 ] [N = left ( frac {2 epsilon x_2} { ln x_2 – (v_0 / x_2) ^ 2-w_0} right) ^ {1/2} tag {8A.8} ] [ 19459002]
[a_1 = – frac {3v_0 ^ 2 + w_0 + 1} {2 (v_0 ^ 2 + w_0)} tag {8A.9} ]
[b_1 = frac {4v_0 ^ 2 + frac {2} {3} w_0 + 1} {2 (v_0 ^ 2 + w_0)} tag {8A.10} ]
[c_1 = – frac {5v_0 ^ 2 + frac {1} {2} w_0 + frac {11} {12}} {2 (v_0 ^ 2 + w_0)} tag {8A.11} ]
[a_2 = frac {3 (v_0 / x_2) ^ 2 + w_0- ln x_2 + 1} {2 left ((v_0 / x_2) ^ 2 + w_0 – ln x_2 right)} tag {8A. 12} ]
[b_2 = frac {4 (v_0 / x_2) ^ 2 + frac {2} {3} w_0- ln x_2 +1} {2 left ((v_0 / x_2) ^ 2 + w_0 – ln x_2 right)} tag {8A.13} ]
[c_2 = frac {5 (v_0 / x_2) ^ 2 + frac {1} {2} w_0- frac {1} {2} ln x_2 + frac {11} {12}} {2 left ((v_0 / x_2) ^ 2 + w_0 – ln x_2 right)} tag {8A.14} ]
[A_n = – frac {1} {2} a_n tag {8A.15} ]
[B_n = – frac { 1} {2} b _n + frac {3} {8} a_n ^ 2 tag {8A.16} ]
[C_n = – frac {1} {2} c_n + frac {3} {4 } a_n b_n – frac {5} {16} a_n ^ 3 tag {8A.17} ]
[D_n = A_n + frac {1} {2} (-1) ^ n tag {8A.18} ]
[E_n = B_n + frac {1} {2} (- 1) ^ n A_n + frac {1} {3} tag {8A. 19} ]
[F_n = A_n +2 (-1) ^ n tag {8A.20} ]
[G_n = B_n + 2 (-1) ^ n A_n + 3 tag {8A.21} ]
[H_n = C_n + 2 (-1) ^ n B_n + 3A_n + 4 (-1) ^ n tag {8A.22} ]
[ nonumber n = 1,2 ]