Si (y (x) ) es una función de (x ), donde (x ) se encuentra s en el rango (0 ) a ( infty ) , luego la función ( bar {y} (p) ) definida por [ 19459005]
[ bar {y} (p) = int_0 ^ { infty} e ^ {- px} y (x) , dx label {14.1.1} ]
se llama Laplace transformada de (y (x) ). Sin embargo, en este capítulo, donde aplicaremos transformadas de Laplace a circuitos eléctricos ts, (y ) wi con mayor frecuencia será un voltaje o corriente eso varía con tiempo en lugar de con “ x “. Así, sh todos usan (t ) como nuestra variable en lugar de (x ), y usaré (s ) en lugar de (p ) (alth [19459003 ] aunque se notará que, hasta ahora, no le he dado ningún significado físico particular a ei allí (p ) o (s ).) Th nosotros I definirá la transformación de Laplace con la notación
[ bar {y} (s) = int_0 ^ { infty} e ^ {- st} y (t) dt, ]
se entiende que t se encuentra en el rango (0 ) a ( infty ) .
Para abreviar, podría escribir esto como
[ bar {y} (s) = textbf {L} y (t). ]
Cuando aprendimos por primera vez el cálculo diferencial, pronto aprendimos que solo había unas pocas funciones cuyas derivadas valía la pena comprometer en la memoria. Así aprendimos las derivadas de (x ^ n, sin x, e ^ x ) y algunas más. Descubrimos que podíamos encontrar fácilmente las derivadas de funciones más complicadas mediante unas pocas reglas simples, como la forma de diferenciar un producto de dos funciones, o una función de una función, y así sucesivamente. Del mismo modo, tenemos que conocer muy pocas transformaciones básicas de Laplace; Hay algunas reglas simples que nos permitirán calcular las más complicadas.
Después de haber aprendido el cálculo diferencial, nos encontramos con el cálculo integral. Este fue el proceso inverso de la diferenciación. Tuvimos que preguntar: ¿Qué función habríamos tenido que diferenciar para llegar a esta función? Era como si nos dieran la respuesta a un problema y tuviéramos que deducir cuál era la pregunta. Será una situación similar con las transformaciones de Laplace. A menudo se nos dará una función ( bar {y} (s) ) y querremos saber: qué divertido ction (y (t) ) es t su Laplace transformada de? En otras palabras, necesitaremos conocer la transformada inversa de Laplace :
[y (t) = textbf {L} ^ {- 1} bar {y} (s) label {14.1.4} ]
Encontraremos que la facilidad para calcular las transformadas de Laplace y sus inversas conduce a formas muy rápidas de resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales, en particular los tipos de ecuaciones diferenciales que surgen en la teoría eléctrica. Podemos usar transformadas de Laplace para ver las relaciones entre la corriente y los voltajes variables en circuitos que contienen resistencia, capacitancia e inductancia. Sin embargo, estos métodos son rápidos y convenientes solo si tenemos una práctica diaria constante en el tratamiento de transformaciones de Laplace con familiaridad fácil. Desafortunadamente, pocos de nosotros tenemos el lujo de calcular las transformadas de Laplace y sus inversas a diario, y pierden muchas de sus ventajas si tenemos que refrescar nuestros recuerdos y recuperar nuestras habilidades cada vez que queramos usarlas. Por lo tanto, se puede preguntar: dado que ya sabemos perfectamente cómo hacer cálculos de CA utilizando números complejos, ¿hay algún punto en aprender lo que equivale a otra forma de hacer lo mismo? Hay una respuesta a eso. La teoría de los circuitos de CA que desarrollamos en Capítulo 13 usando números complejos para encontrar las relaciones entre la corriente y los voltajes tratados principalmente con condiciones de estado estacionario , en el que los voltajes y la corriente variaban sinusoidalmente. No se ocupó de los efectos transitorios que podrían ocurrir en los primeros momentos después de encender un circuito eléctrico, o situaciones donde las variaciones de tiempo son no sinusoidales . El enfoque de transformación de Laplace tratará igualmente bien con situaciones estacionarias, sinusoidales, no sinusoidales y transitorias.