Cuando una corriente I fluye a través de una resistencia (R ), la tasa de disipación de energía eléctrica como calor es (I R ^ 2 ). Si se aplica una diferencia de potencial alterna (V = hat {V} sin omega t ) a través de una resistencia, entonces fluirá una corriente alterna (I = hat {I} sin omega t ) y la velocidad a la que se disipa la energía como calor también cambiará periódicamente. De interés es la tasa promedio de disipación de energía eléctrica como calor durante un ciclo completo de período (P = 2 pi / omega ).
Sea (W ) = tasa instantánea de disipación de energía, y ( overline W ) = tasa promedio durante un ciclo de período (P = 2π / omega ). Entonces
[ begin {align} overline WP = int_0 ^ PW , dt & = R int_0 ^ PI ^ 2 , dt \ [5pt] & = R hat {I} ^ 2 int_0 ^ P sin ^ 2 omega t , dt \ [5pt] & = dfrac {1} {2} R hat {I} ^ 2 int_0 ^ P (1- cos 2 omega t) , dt \ [5pt] & = dfrac {1} {2} R hat {I} ^ 2 left [t- dfrac {1} {2 omega} sin ^ 2 omega t right] _0 ^ {P = 2 pi / omega} \ [5pt] & = dfrac {1} {2} R hat {I} ^ 2 P. label {10.6.1} end {align} ]
Así
[ overline W = frac {1} {2} R hat {I} ^ 2 label {10.6.2} ]
La expresión ( frac {1} {2} hat {I} ^ 2 ) es el valor medio de (I ^ 2 ) durante un ciclo completo. Su raíz cuadrada ( hat {I} / sqrt {2} = 0.707 hat {I} ) es el valor cuadrado medio raíz de la corriente, (I_ {RMS} ). Así, la tasa promedio de disipación de energía eléctrica es
[ label {10.6.3} overline W = RI_ {RMS} ^ 2. ]
Asimismo, el EMR RMS (perdón por todas las abreviaturas) durante un ciclo completo es ( hat {V} / sqrt {2} ).
A menudo, cuando se cita una corriente o voltaje de CA, se trata del valor RMS en lugar del valor pico. Recomiendo que por escrito o conversación siempre deje explícitamente claro lo que quiere decir.
También es interesante el voltaje medio inducido ( overline V ) durante medio ciclo. (Durante un ciclo completo, el voltaje medio es, por supuesto, cero). Tenemos
[ label {10.6.4} overline VP / 2 = int_0 ^ {P / 2} V , dt = hat {V} int_0 ^ {P / 2} sin omega t , dt = dfrac { hat {V}} { omega} left [ cos omega t right] _ { frac {P} {2} = frac { pi} {2}} ^ 0 = dfrac { hat {V}} { omega} (1- cos pi) = dfrac {2 hat {V}} { omega}. ]
Recordando que (P = 2π / omega ), vemos que
[ label {10.6.5} overline V = dfrac {2 hat {V}} { pi} = 0.6366 hat {V} = dfrac {2 sqrt {2} V_ {RMS }} { pi} = 0.9003 V_ {RMS}. ]